การวิเคราะห์และจำลองการทำงานของวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis)#

บทความนี้กล่าวถึง การวิเคราะห์วงจรพื้นฐานทางไฟฟ้าที่ประกอบด้วย R L C โดยใช้ทฤษฎีทางไฟฟ้าและเปรียบเทียบกับการจำลองการทำงานของวงจรด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA

Keywords: DC Circuits, DC Circuit Analysis, EasyEDA / LTspice, MATLAB

---

▷ การวิเคราะห์วงจร: DC Steady-State Analysis#

ลองมาดูวงจรในตัวอย่างแรกซึ่งประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าคงที่ (Constant Voltage Source) ตัวต้านทาน (Resistor: R) ตัวเก็บประจุ (Capacitor: C) และตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า (Inductor: L) ตามผังวงจรไฟฟ้าต่อไปนี้

รูป: วงจรไฟฟ้าและตัวอย่างการวาดผังวงจร (Schematic) ด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA

ในผังวงจร จะเห็นได้ว่า เส้นสัญญาณเชื่อมต่อ หรือ "เน็ต" (Nets) มีการกำหนดหมายเลข 0, 1, ..., 4 ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว 0 หมายถึง GND หรือ กราวด์ของวงจร นอกจากนั้นยังได้มีการกำหนดชื่อและชนิดของอุปกรณ์ รวมถึงการเชื่อมต่อกับสายสัญญาณตามที่ปรากฎในไฟล์ SPICE Netlist ของวงจรนี้ เช่น

• R1 เป็นชื่อของตัวต้านทานที่มีขนาด 50 Ω และขาทั้งสองเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 1 และ 2 ตามลำดับ
• R2 เป็นชื่อของตัวต้านทานที่มีขนาด 100 Ω และขาทั้งสองเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 2 และ 3 ตามลำดับ
• R3 เป็นชื่อของตัวต้านทานที่มีขนาด 100 Ω และขาทั้งสองเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 4 และ 2 ตามลำดับ
• R4 เป็นชื่อของตัวต้านทานที่มีขนาด 300 Ω และขาทั้งสองเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 3 และ 0 (GND) ตามลำดับ
• C1 เป็นชื่อของตัวเก็บประจุไฟฟ้าที่มีขนาด 100 uF มีขาขั้วบวกและขั้วลบเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 1 และ 0 (GND) ตามลำดับ
• L1 เป็นชื่อของตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าที่มีขนาด 100 mH มีขาเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 3 และ 0 (GND) ตามลำดับ
• VS เป็นชื่อของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าดีซีที่มีขนาด 10V มีขาขั้วบวกและขั้วลบเชื่อมต่อกับเน็ตหมายเลข 4 และ 0 (GND) ตามลำดับ

รูป: แสดงรายการอุปกรณ์และการเชื่อมต่อในวงจรตามรูปแบบของ SPICE Netlist

ถ้าต้องการทราบว่า มีแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าไหลในวงจรอย่างไรบ้าง ภายใต้เงื่อนไขสภาวะคงตัวสำหรับกระแสตรง (DC Steady-State Conditions) จะมีแนวทางการวิเคราะห์อย่างไร ?

เนื่องจากวงจรนี้มีแหล่งจ่ายอิสระที่ให้แรงดันไฟฟ้าคงที่ ($V_S=10V$) ดังนั้นในสภาวะคงตัวสำหรับกระแสตรง จะไม่มีกระแสไหลผ่านตัวเก็บประจุไฟฟ้าและแรงดันตกคร่อมไม่เปลี่ยนแปลง และให้มองว่าไม่มีการเชื่อมต่อทางไฟฟ้าระหว่างขั้วทั้งสองของตัวเก็บประจุ (Open Circuit)

ในขณะที่ตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าจะถูกมองว่า มีความต้านทานเป็น 0 Ω (Short Circuit) ระหว่างปลายทั้งสองด้าน มีกระแสไหลผ่านได้ แต่แรงดันตกคร่อมเป็น 0 V ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จึงให้ผลเหมือนวงจรต่อไปนี้

รูป: วงจรในสภาวะคงตัวสำหรับกระแสตรง

แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรง $V_S$ จะทำให้มีกระแสไหลผ่านตัวต้านทาน $R_2$ กับ $R_3$ แต่ไม่มีกระแสไหลผ่าน $R_1$ เนื่องจากไม่ครบวงจร (Open Circuit) เช่นเดียวกับ $R_4$ เนื่องจากมีการลัดวงจร (Short Circuit)

หากใช้ Kirchhoff's Current Law (KCL) ในการวิเคราะห์ จะได้สมการดังนี้

$$\text{KCL: } \quad \frac{V_4 - V_2}{R_3} = \frac{V_2-V_3}{R_2} = I$$ โดยที่ $V_i$ หมายถึง แรงดันไฟฟ้าที่จุดอ้างอิงตามหมายเลข $i=1,2,3,4$ เทียบกับ GND ของวงจร และ $I$ หมายถึง กระแสที่ไหลในวงจรผ่าน $R_2$ และ $R_3$

ในวงจรนี้ $V_3 = 0V$ และ $V_4 = V_S = 10V$ ดังนั้นจึงจัดรูปแบบของสมการใหม่ได้เป็น $$\begin{align} \frac{V_S}{R_3} &= \Big(\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\Big) V_2 \\ V_2 &= \frac{R_2}{R_2+R_3} V_S \\ \end{align}$$ จากนั้นก็สามารถคำนวณปริมาณกระแส $I$ ได้ดังนี้ $$I = \frac{V_2}{R_2} = \frac{V_S}{R_2 + R_3} = \frac{10\,V}{(100\,\Omega + 100\,\Omega)} = 0.05\,A$$

แรงดันตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ $C_1$ เท่ากับ $$\begin{align} V(C_1) &= V_1 = V_2 \\ &= \frac{R_2}{(R_2+R_3)} V_S = \frac{100\,\Omega}{200\,\Omega} \times 10\,V = 5\,V \\ \end{align}$$

และกระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ $L_1$ จะได้เท่ากับ $$I(L_1) = I = 0.05 A$$

 

---

▷ การจำลองการทำงานของวงจร: DC Steady-State Analysis#

ลองมาเปรียบเทียบกับผลการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA (v6.5.3) ในโหมด DC Operating Point (.dc) ดังนี้

• V(4) หมายถึง แรงดันไฟฟ้าของ $V_S$ ที่ขั้วบวก จะได้ 10.0 V
• V(1) หมายถึง แรงดันไฟฟ้าที่ขั้วบวกของตัวเก็บประจุ $C_1$ จะได้ประมาณ 5.0 V และได้เท่ากับ V(2) เนื่องจากไม่มีกระแสไหลผ่าน $R_1$ดังนั้นแรงดันตกคร่อมที่ตัวต้านทานจึงเป็น 0.0 V
• I(L1) หมายถึง กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า $L_1$ และได้ค่าประมาณ 0.05 A เช่นเดียวกับกระแสไฟฟ้า I(R2) และ I(R3) ที่ไหลผ่าน $R_2$ และ $R_3$

รูป: ผลการวิเคราะห์วงจรด้วย EasyEDA ในโหมด .dc

ข้อสังเกต: ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วย EasyEDA ซึ่งอาศัยโปรแกรม LTspice เป็นตัวจำลองการทำงานของวงจร เนื่องจากเป็นการประมวลผลเชิงตัวเลข (Numerical Computing) ค่าที่ได้ซึ่งเป็นเลขทศนิยม อาจมีความแตกต่างจากค่าที่คำนวณได้ในเชิงทฤษฎี แต่ความคลาดเคลื่อนของผลลัพธ์ที่ได้นั้นถือว่าน้อยมาก

 

---

▷ การจำลองการทำงานของวงจร: DC Transient Analysis#

จากผังวงจรในตัวอย่างที่แล้ว หากแก้ไขวงจรเล็กน้อย โดยใส่สวิตช์ไฟฟ้า (Switch) เพิ่มในวงจร และให้สวิตช์ SW1 ถูกเปิดขึ้น (เปลี่ยนสถานะจาก Close เป็น Open) เมื่อเวลา $t=0$ วินาที เพื่อแยกแหล่งจ่าย $V_S$ ออกจากวงจรไฟฟ้า

รูป: การเพิ่มสวิตช์ในวงจร และถูกเปิดออกเมื่อเวลา $t=0$

ในตัวอย่างนี้ เมื่อเวลา $t < 0$ ตัวเก็บประจุไฟฟ้า $C_1$ และตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า $L_1$ มีพลังงานเก็บอยู่ภายใน ดังนั้นสถานะเริ่มต้นของวงจรจึงไม่เป็นศูนย์ (Non-Zero Initial Conditions) และสามารถหาได้โดยการวิเคราะห์ในโหมด .dc (DC operating point) ตามที่ได้นำเสนอไปแล้ว

ผลตอบสนองของวงจรตั้งแต่เวลา $t=0$ เป็นต้นไป จึงขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้นของวงจร และเรียกผลตอบสนองในลักษณะนี้ว่า ผลตอบสนองธรรมชาติ (Natural Response)

เมื่อไม่มีแหล่งจ่าย $V_S$ อยู่ในวงจรแล้ว และเวลาผ่านไป วงจรจะเข้าสู่สถานะคงตัว (DC Steady State) ดังนั้นจึงไม่มีกระแสไหลผ่าน $L_1$ และแรงดันตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ $C_1$ เป็น 0V

คำสั่ง SPICE directive สำหรับการวิเคราะห์วงจรในโหมด DC Transient คือ .tran ซึ่งจะต้องมีการกำหนดเวลาเริ่มต้นและเวลาจบการจำลองการทำงาน เช่น 0 ถึง 50 msec ในช่วงเวลาดังกล่าวจะต้องมีการแบ่งออกเป็นช่วงย่อยที่เรียกว่า Step Size เช่น 5 usec เพื่อการวิเคราะห์สถานะของวงจรในแต่ละช่วงย่อย

คำสั่ง .ic เป็นการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Conditions) เช่น สำหรับแรงดันตกคร่อมของตัวเก็บประจุ $C_1$ และกระแสที่ไหลในขณะนั้นสำหรับตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า $L_1$ ตามรูปแบบต่อไปนี้

.save I(L1) V(1)
.ic V(1)=5V I(L1)=0.05A
.tran 0 50m 0 5u

 

จากการจำลองการทำงาน จะเห็นได้ว่า V(1) ซึ่งเป็นแรงดันตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ $C_1$ ที่เวลาเริ่มต้น $t=0$ มีค่าเท่ากับ $5V$ จากนั้นจะลดลงจนเป็นศูนย์ ในขณะที่ I(L1) ซึ่งเป็นกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน $L_1$ มีค่าเริ่มต้นที่ $50mA$ จากนั้นจะลดลงจนเป็นศูนย์

รูป: แสดงรูปกราฟสำหรับแรงดันตกคร่อมที่ $C_1$ และกระแสที่ไหลผ่าน $L_1$

อีกรูปแบบหนึ่งในการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นให้กับตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าในวงจร คือ การเพิ่มคำสั่ง ic (Set Initial Condition) เจาะจงสำหรับอุปกรณ์แต่ละตัว โดยการเขียนต่อท้ายข้อความที่กำหนดค่าของอุปกรณ์ และท้ายคำสั่ง .trans จะต้องเขียนคำว่า uic เพิ่มตามรูปแบบต่อไปนี้

รูป: ตัวอย่างการวาดผังวงจรและกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น

 

---

▷ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า: DC Switching Analysis#

หากต้องการจำลองการเปิดและปิดสวิตช์ SW1 ตามช่วงเวลาที่กำหนด ในกรณีนี้ เราก็สามารถเลือกใช้อุปกรณ์ที่เรียกว่า VCSW (Voltage-Controlled Switch) แล้วนำมาต่อในวงจร และกำหนดคุณสมบัติของอุปกรณ์ VCSW ได้โดยใช้คำสั่ง .model ของ SPICE directive เช่น การกำหนดระดับแรงดัน vt (Threshold Voltage) ที่ทำให้สวิตช์ทำงาน (Close หรือ ON) และค่าความต้านทานของสวิตช์ ron และ roff ในสถานะ ON และ OFF ตามลำดับ แต่จะต้องมีการสร้างสัญญาณไฟฟ้าควบคุมการเปิดและปิดสวิตช์ด้วย ในกรณีนี้เราจะใช้แหล่งจ่ายแบบสัญญาณพัลส์ (PULSE)

รูป: ตัวอย่างการวาดผังวงจรที่มีการใช้งาน VCSW

จากรูปตัวอย่างจะเห็นได้ว่า สวิตช์จะเริ่มทำงานในช่วงเวลา t=0 msec เป็นต้นไป อยู่ในสถานะ ON จนถึงเวลา t=60 msec จะเปลี่ยนสถานะเป็น OFF การทำงานและสถานะของสวิตช์ SW1 ถูกกำหนดโดยระดับแรงดันของแหล่งจ่าย VP ที่สร้างสัญญาณแบบ PULSE ตามการตั้งค่าในรูปตัวอย่าง (Voltage Source Settings)

รูป: ตัวอย่างการจำลองการทำงานของวงจรและรูปกราฟของสัญญาณ

 

---

▷ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า: DC Transient Analysis#

ถ้ากำหนดให้ $v_1$ และ $v_3$ เป็นแรงดันไฟฟ้าที่จุดอ้างอิงหมายเลข 1 และ 3 เทียบกับ GND ของวงจร และให้ $i_1$ เป็นกระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ $L_1$ และ $v_1$ เป็นแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ $C_1$ เมื่อการวิเคราะห์วงจรด้วย KCL จะได้สมการดังต่อไปนี้

$$\begin{align} -C_1 v'_1 &= \frac{v_1 - v_3}{R_1+R_2} &\qquad \text{(Eq.1)}\\ i_1 + \frac{v_3}{R_4} &= \frac{v_1-v_3}{R_1+R_2} &\qquad \text{(Eq.2)} \\ i'_1 &= \frac{1}{L_1} v_3 &\qquad \text{(Eq.3)} \\ \end{align}$$

จากนั้นให้หา $v_3$ จากสมการ Eq.2 แล้วไปแทนที่ลงในสมการ Eq.1 และ Eq.3 ตามลำดับ $$v_3 = -\frac{(R_1+R_2)R_4}{R_1+R_2+R_4} i_1 + \frac{R_4}{R_1+R_2+R4} v_1 \\ $$

และเขียนสมการ Eq.1 และ Eq.3 ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations) ที่มีฟังก์ชัน $\{v_1(t), i_1(t)\}$ และอนุพันธ์ $\{v'_1(t), i'_1(t)\}$ ได้ดังนี้

$$\begin{align} v'_1 &= -\frac{1}{C_1(R_1+R_2+R_4)} v_1 -\frac{R_4}{C_1(R_1+R_2+R_4)} i_1 &\quad \text{(Eq.1)}\\ i'_1 &= +\frac{R_4}{L_1(R_1+R_2+R_4)} v_1 - \frac{(R_1+R_2)R_4}{L_1(R_1+R_2+R_4)} i_1 &\quad \text{(Eq.3)} \\ \end{align}$$

เราจะได้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น $v_1(0)=5V$ และ $i_1(0)=0.05A$ และสามารถเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อหาผลเฉลยสำหรับฟังก์ชัน $v_1(t)$ และ $i_1(t)$ และแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันที่เป็นผลเฉลยตามแนวทางต่อไปนี้

 

ลองมาดูตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB โดยใช้วิธีประมวลผลเชิงสัญลักษณ์สำหรับการวิเคราะห์วงจร และหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์

clearvars; clf;
syms t v1(t) v3(t) i1(t) 
syms C1 L1 R1 R2 R4 positive
% write equations 
eq1 = -C1*diff(v1,t) == (v1-v3)/(R1+R2)
eq2 = i1 + v3/R4 == (v1 - v3)/(R1+R2)
eq3 = diff(i1,t) == v3/L1
% rewrite eq2 the expression for v3
v3_expr = collect( rhs( isolate(eq2, v3) ), [i1 v1])
% substitute the expression of v3 in eq1 and eq3
eq1 = isolate( subs( eq1, v3, v3_expr ), diff(v1,t) )
eq3 = isolate( subs( eq3, v3, v3_expr ), diff(i1,t) )
% apply specific values to circuit parameters 
params = [L1 C1 R1 R2 R4];
values = [100e-3 100e-6 50 100 300];
% substitute circuit parameters in the equations with specific values
% define the differential equation system 
ode = [subs(eq1,params,values), subs(eq3,params,values)].'
% set the initial conditions
ics = [v1(0)==5, i1(0)==0.05];
% show the ODE in matrix form: Y1=i1 and Y2=v1
[V,S] = odeToVectorField(ode)
% solve the ODE system with initial conditions
[i1, v1] = dsolve( ode, ics );
% plot v1 and i1
% set time range 0 to 50 msec
t_range = [0,0.05];
% create a figure with two subplots
figure
subplot(2,1,1)
% plot v1(t) on the first subplot
fplot( v1, t_range ), ylabel('v_1(t) [V]'), 
xlabel('s'), grid on
% plot i1(t) on the second subplot
subplot(2,1,2)
fplot( 1000*i1, t_range ), ylabel('i_1(t) [mA]'), 
xlabel('s'), grid on

จากโค้ด MATLAB ลองมาดูตัวอย่างเอาต์พุตที่ได้จากการรันโค้ดบางส่วนดังนี้

รูป: ตัวอย่างการรันโค้ด MATLAB (ส่วนที่ 1)

รูป: ตัวอย่างการรันโค้ด MATLAB (ส่วนที่ 2)

กราฟสำหรับฟังก์ชัน $v_1(t)$ และ $i_1(t)$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ก็มีลักษณะเหมือนกับผลลัพธ์ที่ได้จากการจำลองการทำงานด้วย EasyEDA

รูป: แสดงรูปกราฟสำหรับฟังก์ชัน $v_1(t)$ และ $i_1(t)$ ในช่วงเวลา $t \in [0,50]$ msec

 

---

▷ กล่าวสรุป#

บทความนี้นำเสนอตัวอย่างการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ประกอบด้วย R L C และใช้ซอฟต์แวร์ EasyEDA / LTspice จำลองการทำงานและเปรียบเทียบผลที่ได้ นอกจากนั้นแล้วยังมีตัวอย่างโค้ด MATLAB ที่ใช้วิธีการประมวลผลเชิงสัญลักษณ์เพื่อช่วยในการวิเคราะห์วงจร

หากสนใจตัวอย่างเพิ่มเติมสำหรับการเขียนโค้ด MATLAB หรือ Python เพื่อหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ด้วยวิธีการคำนวณเชิงสัญลักษณ์และเชิงตัวเลข สามารถอ่านเนื้อหาเพิ่มเติมได้จากบทความภาษาไทยต่อไปนี้

• "ODE Solving with Python" ตัวอย่างการเขียนโค้ด Python เพื่อหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์
• "ODE Solving with Python - Laplace Transforms" ตัวอย่างการเขียนโค้ด Python เพื่อหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีการแปลงลาปลาซและประมวลผลทางคณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์
• "ODE Solving with MATLAB" ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB เพื่อหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์
• "ODE Solving with MATLAB - Laplace Transforms" ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB เพื่อหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีการแปลงลาปลาซและประมวลผลทางคณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์

---

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Created: 2022-04-26 | Last Updated: 2022-04-29